关键词：分片试验，弱形式，网线函数，有限元法 

1 引言

连续问题极大地推动了有限元的发展，目前，成熟的构造单元的方法有传统的位移法有限元[1]、应力杂交元[4]、杂交混合元[5]、拟协调元[2][3]、广义协调元[6]、双参数法[7]、精化直接刚度法[8]等多种。有些方法在数学上已有证明，但这些方法的更为完善的证明仍是一个课题，而且其数学证明还很难被研究力学的人们所理解。人们仍比较普遍以事后的分片试验来验证单元的收敛性。尽管当前仍有对分片试验的讨论，但以往的大量实践说明：通过分片试验的单元使用起来是令人放心的。通过分片试验是绝大多数有限元分析方法的共同点，近期有限元的发展可以说是以分片试验为一个主要内涵的发展。

目前对各种有限元法分析的方法均是在单元一级上采用变分原理，从而得到单元的应变（或应力）的，由结点位移为参数表达的表达式，再把它们代入最小势能原理得到刚度阵。各种有限元法在得到应变（或应力）的做法上不同，好的有限元法得到的应变表达式已满足了通过分片实验所应满足的条件。

2 分片检验的要求

    因有限元法最终列出的是势能的方程，因此分片试验可以看作：在常应变情况下，位移的不协调部分对势能无贡献，在薄板弯曲问题中，可如下表达：

             (1)

                                     (2)

 (3)

                        (4)

(5)

                 (6)

                      (7)

                      (8)

            (9)

    (10)

(11)

                              (12)

          (13)

此即为薄板弯曲问题在单元上的最小余能原理的变分方程。

精化直接刚度法虽然从设位移出发，但又对应变矩阵进行了修正。以下讨论其应变的改进作用。

                 (14)

上式表达了单元的平均应变所应满足的方程。可把上式写成如下矩阵形式：

                                                (15)

                                                    (16)

其单元的平均应变：

                                           (17)

                                             (18)

    使用位移约束方程的方式有两种：第一种是位移的广义参数的个数不增加，改变以往的采用结点参数确定各广义参数的方法，广义协调元和双参数法便是采用这种方法；第二种方法是采用增加位移中的广义参数的做法。此外两种做法也可混合使用。

4.1 广义协调元和双参数法

(19)

广义协调元与双参数法在确定位移广义参数的时候包含上述方程。这两种有限元法得到的位移插值函数在结点处的表达不一定精确，有时会有一个高阶小量的误差。而边界位移条件是直接由结点位移表示的，因此在做分片检验时会有一定的误差，即不很准确地通过分片检验。这一点可由文[8]中的算例看出。

4.2 增加位移中的广义参数