摘要： 本文从自然数及其记数法的基本概念出发，辨析了与二进位制相关的几个容易混淆的概念，指出序数概念的引入在近代数学发展中有重要意义，作为邵雍数学学派的数学基础，先天易是数学史上第一个专门定义的序数体系，该序数体系在数学史上率先采用了二进位制记数法。先天易作为二进制序数体系这一事实在明清时期引起不同的反响，反对者认为它使易道沦落，大数学家汪莱则从P进制的角度论证它的优越性。本文最后还对近年来反对先天易与二进制有关的两种典型观点进行了剖析，指出其谬误所在。 

　 关键词：先天易； 二进位制； 序数； 邵雍；汪莱

 A research on the mathematics foundation in the primordial Yi

——on the primordial hexagrams' order and binary system

  Abstract: Departing from basic concepts of cardinal numbers and their numbering orders, the paper differentiated and analyzed some concepts easy to be confused related to binary system, pointing out that the introduced concepts of ordinals played an important role in the development of modern mathematics. As the foundation of SHAO Yong's mathematics, the primordial Yi, in the history of mathematics, exhibits the first specially defined ordinal system, in which the binary numbering method was used at the first time. Being a binary ordinal system, the　primordial Yi aroused different repercussions: opposers censured it debased Yi; While, departing from the angle of the P carrying system, WANG Lai, a great mathematician, proved its superiority. In addition, the paper also analyzed two typical viewpoints against the primordial Yi and binary system, to expose their fallacy.
Key　words: the primordial Yi; binary system; ordinals; SHAO Yong; WANG Lai

第一节　先天易是二进位体系

　　一、二进位制的定义

　　易与二进位制问题的讨论，实际上是关于自然数记数法讨论。

　　二进位制是最简单、最基础的计数方式之一。生活中对二进制的掌握与运用，只须有一定的同异判别能力即可，对智力水平的要求比十进制低得多。不能因为电子产品广泛应用二进制逻辑最简单、最基本的特性而将它神秘化。

　  什么是二进位制呢？首先要搞清楚的是：什么是自然数？

　  下面我们从自然数及自然数记数法的一般定义出发，进行说明。自然数两种基本定义：一称为基数定义，表示个数；一称为序数定义，表示顺序关系。

　　基数就是带单位的数量，是相对直观的概念，反映一种原始的抽象思维，记录实物对象的重复量，离不开实物对象，只需数个数的水平，如结绳计数，尚不需形成整体意识，对心智比较也不需有过多的要求，就像儿童都有过认得一些零散的数（个数），但分不清大小的经历一样，在人类掌握排序概念以前，基数概念是最原始的数的概念。基数定义的自然数没有排序功能，排序的概念则隶属于自然数的序数定义。这是自然数的两重天然属性。一般认为，在19世纪下半叶之前，数学界对其中的区别并没有清晰的认识。

　　顺序关系是自然数序数定义的核心。对序数的认识和运用是人类智力水平的又一次飞跃。基数是实物对象的简单影射，序数则摆脱了实物对象的约束，需要比基数更进一大步的抽象能力和比较能力，并有自觉的全域观念。

　  任何用来表示顺序的符号都是序数表示式，对使用者来说，都是自然数。如Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，甲、乙、丙、丁，在生活中常用以表示顺序，这时就属于数的范畴，都是序数表示。甚至如座位三排五号也是序数，这种计数方法属于自然数表示方式中的非位值进位制，它的位值用专用符号“排”和“号”来表示。可见，用来表示个数或序的符号都是自然数。

　  根据符号的内部结构，自然数的表示法可分为非进位制、特殊位值进位制和位值进位制。非进位制是自然数的最原始的表示法，如简单结绳计数形式。特殊位值进位制是指使用了进位的概念但借助专用记号表示位值，没有通用的位值概念。如上面提及的三排五号就是这种表示法，‘三’与‘五’是不同位上的值，这里使用了进位的概念，并借助专用符号‘排’来表示进位，而不是直接利用基本符号本身的位置关系来表示进位，因此称为非位值进位制或特殊位值进位制。由于受专用进位符号的制约，这种表示法使用起来有明显的局限性。古代的很多计数法如埃及、希腊、罗马的计数法都属于这类进位制。比如古希腊半岛采用２７个字母计数法，从1-9用九个字母表示，10-90 再用另外九个字母表示，100-900用剩下的九个字母表示，这种笨拙的特殊位值十进制计数法一直延续到文艺复兴前夕。

　　位值进位制是先进的表示法，顾名思义，直接利用基本符号本身的位置关系来表示进位，即“它用同样的符号利用位置关系表示高位值”，因此称为位值进位制。由于使用了位值的概念，位值进位制原则上可以把自然数推至无穷而不会出现逻辑困难。用十个基本符号来表示就称为十进位制，用两个基本符号来表示就称为二进位制。

二、与二进位制定义相关的几个容易混淆的概念辨析

　　由于所有数系的基础都是对象的可数性或有序性即自然数，因此自然数记数法随着数系的扩充，依次可以自然而然地成为整数、有理数、实数和复数的记数方式。对同一个数系来说，不同的记数方式是等价的，数系与记数方式之间不存在相互约束的关系。

　  在讨论周易与二进位制这个问题时，二进制算术是一个常出现的提法，但它是一种概念不清的错误提法，因为算术法则是来自数系自身的逻辑内涵的一种操作规定，只与数系自身有关，与记数法则毫无关系。采用同样的记数法，只须对数系的定义进行一些简单修改，它的算术就会面目全非。可见，在讨论是否使用过二进制记数法这一问题的时候，把四则运算作为评判条件是错误的。

　  另外，有人以是否存在用二进制表示的小数作为二进制发明的判据，显然也是错误的，因为记数法与数系之间不存在相互约束的关系，小数的发明远在十进位制之后就是一个例子。

　  值得一提的还有二进制的基本符号问题。二进制记数法的基本符号只需且只能有两个基本符号，而这两个符号可以是约定的任意字符，０和１仅仅是符合要求的任意符号组合中的一组而已，这也是很容易引起想当然的误会。也许是因为我们对阿拉伯数字太熟悉了的缘故，常常会误解只有写成0和1形式的符号系列才是二进位制形式。其实，为了避免与十进制阿拉伯数字符号混在一起，现代运用中更多的是采用T(true)和Ｆ(false)或L(left)和R(right)作为基本符号。

三、先天易是二进位制体系 

首先，让我们来总结一下成为二进位制的条件是什么？

  １．必须符合自然数定义，即必须是用来表示数量关系或顺序关系的符号体系。

　２．基本的符号是不是只有两个？

  ３．必须符合位值进位制的定义，即是否“用同样的符号利用位置关系表示高位值”，而不是另外引入专用进位符号？

　  以上三个条件是一个符号体系称为二进位制体系的充分条件。现就上述条件逐一讨论。

　  １．邵雍先天易是用来表示抽象顺序关系的符号体系。

　  这一点取得了几乎完全的共识，看到图就知道，这是非常显然，无法辩驳的，几乎所有的反对者都承认这一点。现最流行的观点是西方汉学家葛兰言提出来的，他断言是碰巧而不是有意排出来的抽象顺序，那也许是他没有阅读原著的结果。因为伏羲卦图称为伏羲八卦次序和伏羲六十四卦次序，图名