托姆经过理论上的研究指出，由一个状态变量和两个控制变量描述的突变现象，可用数学模型来刻画(图略)。在这个模型中。行为曲面向一方倾斜，并且有一个平滑的折叠区，折迭越来越窄，最后止于三层曲面的会合处Q′点。把这个折叠区投影在控制平面上，将得到一个尖角形的平面区域JQF，称之为分支集，其两条边线QJ和QF称为分支曲线。因为分支集的顶端是尖的，故上述模型称为尖角型模型。
　　托姆从数学上证得：如果控制变量不超过4个，那么突变模型可归结为7种基本类型：尖角型，折迭型，燕尾型，蝴蝶型，双曲型，椭圆型，抛物型。如果控制变量多于4个时，突变模型将有无限多种，这表明自然界的突变现象是丰富多彩、复杂多样的。可见，突变理论不仅深刻描述了事物发生质变的各种形式，而且精确地给出了各种形式发生的条件。
　　突变理论研究表明，事物的质的变化不仅可以通过突变来实现，而且还可以通过渐变来实现。这就表明，相变在某种特定条件下可以不通过突变形式，而是通过连续的、渐变的形式来实现。突变理论对事物两相性的这种数学描述，为考察和分析现实世界中的“亦此亦彼”状态，无疑从认识论和方法论上提供了重要的启示。
　　有了这个模型，我们就可以直观而深刻地揭示品牌系统的突变形式及其发生的机制。
　　
　　四、基于突变理论的品牌马太效应的机理
　　在以对马太效应往的研究当中，一般是对其形成的条件和形成的机理从经济分析的角度进行规范分析，但很难得到用来描述马太效应的相关阈值和指标，尤其是关于品牌的马太效应更多的研究都是从案例中体察出理论的存在，很少运用模型来描述该效应的形成机理，就此问题，我们运用突变理论的思想，建立品牌马太效应的突变数学模型，对其进行解释。
　　首先定义建立模型所需的两个基本量，即效应的状态变量和控制变量，分别用来描述品牌马太效应的状态变化程度以及影响制约状态变量变化的那些变量。对于品牌的马太效应来说，描述状态以品牌自传播现象的出现作为标志，选取品牌的传播成本（单位受众成本P）作为状态变量指标。当品牌的传播出现自传播现象时，单位受众成本会迅速的大幅度降低。对品牌的自传播现象而言，信捷职称论文写作发表网，其发生发展受控于品牌发出者（企业E）和品牌接受者（消费者C）的共同作用，因此选择品牌企业和消费者作为控制变量。由品牌状态变量及其控制变量组成的数学空间，称为品牌行为空间。在品牌行为空间中，由品牌状态变量变化而形成的曲面称为品牌的行为曲面，由控制变量变化所形成的曲面称为品牌的控制曲面。对品牌马太效应而言，其行为空间是由变量P、E、C决定的三维空间，控制曲面则是由E和C确定的平面。 　　    其次，确定状态曲面上、中、下三叶的含义，上、下两叶表示品牌传播成本的稳定状态，即：品牌分别处于非自传播态和自传播态，中叶(折叠区)表示传播成本的不稳定状态，即品牌传播处于非自传播或自传播的突变过程中。
　　依据突变理论的研究,还可以看出事物的质的变化不仅可以通过突变来实现，而且还可以通过渐变来实现。这就表明，品牌马太效应并不是品牌传播质变的唯一途径，在某种特定条件下可以不通过突变形式，而是通过连续的、渐变的形式来实现，即：长期的积累与维护。
　　品牌马太效应的突变数学模型能够形象而深刻地描述了品牌传播的突变过程，从而较为直观的解释了品牌马太效应发生发展的规律和机理，对于实践中如何认识并掌握品牌马太效应有着积极的意义。
　　
　　五、结论
　　其实，尽快达到并充分发挥品牌的马太效应其要义所在，是让企业活动和消费者活动的形成品牌一致习惯，使二者在长期相互作用共同形成了品牌资源，并在其过程中不断累积自传播需要的条件，最终能够放大资源优势。 ?
　　
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