悖论――自引用――不一致――无
作者：佚名； 更新时间：2014-12-05
We can’t solve problems by using the same kind of thinking we used when we created them. --Albert Einstein
写下这个题目，不免有些惊心动魄，这些主题词未免太大了，还好本文只是讨论它们之间的这一“――”，即对这些主题词的相关方面作一些初步的探讨。
1．悖论
悖论自古有之。比较出名的是说谎者悖论：一个人说了一句话：“我现在在说谎”。我们来分析一下这句话是真话，还是谎话。假设这句话是真话，由它的内容所指，则这句话是谎话；反过来，假设这句话是谎话，那么“我现在在说谎”就是谎话，因此他说的是实话。
由这句话是真话，可以推导出这句话是谎言；由这句话是谎话，又可以推导出这句话是真话。这就称为悖论。
更形式化的悖论定义是：“由A可以推导出┐A（A的否定的形式写法），并且由┐A可以推导出A。”
悖论还有很多，如“苏格拉底悖论”、“万能上帝悖论”、中国古代的“矛盾悖论”、“先有鸡先有蛋悖论”、“自由悖论”、康德的二律背反等等。
还有一类跟悖论很相近的命题，我们不妨称之为“自毁命题”。自毁命题的定义是：“由A可以推导出┐A，但由┐A并不能推导出A。”自毁命题具有自毁性质，自毁命题本身是不能成立的，但它的否定却没有约束。
比如克里特哲学家说：“克里特人总是说谎”，这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似，但两者并不一样。假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲学家也总是说谎，这个哲学家现在当然也是在说谎，即这句话是谎言；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎”，由此并不能推出矛盾。
再看“世上没有绝对的真理”，这也是一个自毁命题。假设这句话是真的，那么世上就有了绝对的真理，这与话语所指矛盾；假设这句话是假的，也就是“世上有某些绝对的真理”，这并不能产生矛盾。
再如“中国文化一无用处”，这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话，这样来看，中文文字就是有用的，也即中国文化的某些东西是有用的，这就与原命题矛盾；反过来，这个命题的否定也并不能产生矛盾。
《五灯会元》里有长爪梵志与佛陀的辩论，长爪梵志的立论命题是“什么都不接受。”佛陀就问道：“那你接受不接受‘什么都不接受’这个观点呢？”长爪梵志无言，只好认输。这也是一个自毁命题。
自毁命题也还有很多，比如“真理是不可言说的”，“墙上不准写字”，“我没有在说话”，“我在睡觉”，“以暴止暴”等。
另外，还有一类“自成命题”。自成命题的定义是：“A并不可以推导出┐A，但由┐A可以推导出A。”自成命题具有自成性质，自成命题的否定将导致矛盾的，但它的肯定却没有约束。比如哥德尔语句，就是自成命题。
悖论与自毁命题、自成命题的一个区别是：自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。
悖论与自毁命题、自成命题的相同之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖论在肯定和否定命题两个方向都会产生矛盾，而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾，自成命题在否定命题时会产生矛盾。自毁命题只能假，自成命题只能真。
2．罗素悖论
悖论里面最出风头的要数“罗素悖论”，他直接引起了“第三次数学危机”，撼动了整个数学的基础。
以下，我们介绍一下“罗素悖论”。如果集合具有自己属于自己的性质，那么我们称这个集合是“自吞的”，比如所有集合的集合。现在假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的？如果说T不是自吞的，那么T将属于自己，那么T就是自吞的。如果说T是自吞的，那么T便具有T内元素的性质“不自吞”，即T是不自吞的。
“罗素悖论”的通俗形式是“理发师悖论”：一个理发师声称他给且只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？如果他不给自己理发，那么按照他的声称，他应该给自己理发。如果他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发”性质的，也就是他不为自己理发。
数学家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方，一个人早上醒来，却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来，却发现自己的家人都不见了，自己的家都“空”了。这样的感觉无疑是使人震惊，甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的，那么数学家们就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现。如此，公理集合论就渐渐发展起来了。其中，ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目前还没出现矛盾，但问题是经过了“第三次数学危机”，如何叫数学家们相信“ZF公理集合论是一致的”？（所谓一致的，就是不矛盾的，或称协调的，也就是不会在一个系统里面既有公式A为真又有公式┐A为真。）
这个问题又扩展到对数学基础的反思，什么样的数学基础是稳固的？数学真理的本质是什么？数学命题有什么意义？它们是建基于什么样的证明之上的？［1］
对于此问题的不同看法，数理逻辑界形成了三派：逻辑主义学派（罗素，怀特海）、形式主义或公理学派（希尔伯特）、直觉主义（布劳威尔）学派。本文主要涉及形式主义学派。
希尔伯特大力提倡数学的形式主义（即公理化）。在那个时期，初等几何、算术、群、环、域、拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回顾历史，我们还可以惊奇地发现，哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。
希尔伯特提出了希尔伯特方案，也就是把古典数学的每一分支都形式化，并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性，也就是一致性，即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性，是指这个形式系统里面的任一公式A，或者A是可证的，或者是┐A可证的。
正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学基础问题时，哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。
3．哥德尔
哥德尔（1906－1978）在中国是值得大吹特吹的人物，国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界，甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内，哥德尔远不如爱因斯坦名声响。究其原因，除了哥德尔理论的艰涩外，可能还由于哥德尔本人性格的内向。
哥德尔（Godel）一般被认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家（或许还加上一个弗雷格，他是现代逻辑的创始人）。他有几个主要的贡献：一阶逻辑的完备性定理，哥德尔第一、第二不完全性定理、连续统假设与ZF公理集合论的协调、旋转宇宙里时间旅行的可能、把莱布尼兹的上帝存在论证明转化为逻辑形式。在他的晚年，他对哲学产生了深厚的兴趣，尤其是康德、莱布尼兹和胡塞尔的哲学理论。（哥德尔晚年的转向，其背后包含有什么东西呢？）
在第一不完全性定理中，哥德尔证明了，任一包含算术的形式系统，它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说，如果一个包含算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全，就是指存在一个公式A，使得A和┐A在这个系统内都不可证。
在哥德尔第一不完全定理中，哥德尔创造性地应用了很多理论，如递归函数，哥德尔编码，对角化，自引用等。在可计算的意义下，N上可表达性、递归函数、图灵可计算（也就是目前的计算机可计算）、lambda函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。
4．自引用
哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述：“这个数论
写下这个题目，不免有些惊心动魄，这些主题词未免太大了，还好本文只是讨论它们之间的这一“――”，即对这些主题词的相关方面作一些初步的探讨。
1．悖论
悖论自古有之。比较出名的是说谎者悖论：一个人说了一句话：“我现在在说谎”。我们来分析一下这句话是真话，还是谎话。假设这句话是真话，由它的内容所指，则这句话是谎话；反过来，假设这句话是谎话，那么“我现在在说谎”就是谎话，因此他说的是实话。
由这句话是真话，可以推导出这句话是谎言；由这句话是谎话，又可以推导出这句话是真话。这就称为悖论。
更形式化的悖论定义是：“由A可以推导出┐A（A的否定的形式写法），并且由┐A可以推导出A。”
悖论还有很多，如“苏格拉底悖论”、“万能上帝悖论”、中国古代的“矛盾悖论”、“先有鸡先有蛋悖论”、“自由悖论”、康德的二律背反等等。
还有一类跟悖论很相近的命题，我们不妨称之为“自毁命题”。自毁命题的定义是：“由A可以推导出┐A，但由┐A并不能推导出A。”自毁命题具有自毁性质，自毁命题本身是不能成立的，但它的否定却没有约束。
比如克里特哲学家说：“克里特人总是说谎”，这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似，但两者并不一样。假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲学家也总是说谎，这个哲学家现在当然也是在说谎，即这句话是谎言；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎”，由此并不能推出矛盾。
再看“世上没有绝对的真理”，这也是一个自毁命题。假设这句话是真的，那么世上就有了绝对的真理，这与话语所指矛盾；假设这句话是假的，也就是“世上有某些绝对的真理”，这并不能产生矛盾。
再如“中国文化一无用处”，这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话，这样来看，中文文字就是有用的，也即中国文化的某些东西是有用的，这就与原命题矛盾；反过来，这个命题的否定也并不能产生矛盾。
《五灯会元》里有长爪梵志与佛陀的辩论，长爪梵志的立论命题是“什么都不接受。”佛陀就问道：“那你接受不接受‘什么都不接受’这个观点呢？”长爪梵志无言，只好认输。这也是一个自毁命题。
自毁命题也还有很多，比如“真理是不可言说的”，“墙上不准写字”，“我没有在说话”，“我在睡觉”，“以暴止暴”等。
另外，还有一类“自成命题”。自成命题的定义是：“A并不可以推导出┐A，但由┐A可以推导出A。”自成命题具有自成性质，自成命题的否定将导致矛盾的，但它的肯定却没有约束。比如哥德尔语句，就是自成命题。
悖论与自毁命题、自成命题的一个区别是：自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。
悖论与自毁命题、自成命题的相同之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖论在肯定和否定命题两个方向都会产生矛盾，而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾，自成命题在否定命题时会产生矛盾。自毁命题只能假，自成命题只能真。
2．罗素悖论
悖论里面最出风头的要数“罗素悖论”，他直接引起了“第三次数学危机”，撼动了整个数学的基础。
以下，我们介绍一下“罗素悖论”。如果集合具有自己属于自己的性质，那么我们称这个集合是“自吞的”，比如所有集合的集合。现在假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的？如果说T不是自吞的，那么T将属于自己，那么T就是自吞的。如果说T是自吞的，那么T便具有T内元素的性质“不自吞”，即T是不自吞的。
“罗素悖论”的通俗形式是“理发师悖论”：一个理发师声称他给且只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？如果他不给自己理发，那么按照他的声称，他应该给自己理发。如果他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发”性质的，也就是他不为自己理发。
数学家“日用而不知”的“集合”概念居然存在矛盾，这对于当时的数学家们不啻一记晴天霹雳。打个比方，一个人早上醒来，却发现自己脚下都是沙土。或者正如一个百万富翁突然发现自己的钱都是假钞。或者正如一个小孩放学回来，却发现自己的家人都不见了，自己的家都“空”了。这样的感觉无疑是使人震惊，甚至恐惧的。既然朴素的集合论思想是不严密的，那么数学家们就要建构更加严密的集合论，在朴素集合论的概念里加上一些限制，以防止不适当集合的出现。如此，公理集合论就渐渐发展起来了。其中，ZF公理集合论是比较成熟的一种。ZF公理集合论目前还没出现矛盾，但问题是经过了“第三次数学危机”，如何叫数学家们相信“ZF公理集合论是一致的”？（所谓一致的，就是不矛盾的，或称协调的，也就是不会在一个系统里面既有公式A为真又有公式┐A为真。）
这个问题又扩展到对数学基础的反思，什么样的数学基础是稳固的？数学真理的本质是什么？数学命题有什么意义？它们是建基于什么样的证明之上的？［1］
对于此问题的不同看法，数理逻辑界形成了三派：逻辑主义学派（罗素，怀特海）、形式主义或公理学派（希尔伯特）、直觉主义（布劳威尔）学派。本文主要涉及形式主义学派。
希尔伯特大力提倡数学的形式主义（即公理化）。在那个时期，初等几何、算术、群、环、域、拓朴空间等数学系统都得到了公理论。回顾历史，我们还可以惊奇地发现，哲学家斯宾诺莎尝试过用公理化的方法来表述伦理学。
希尔伯特提出了希尔伯特方案，也就是把古典数学的每一分支都形式化，并且证明这些数学公理系统的协调性和完全性。所谓协调性，也就是一致性，即这个形式系统内部不会出现矛盾。所谓完全性，是指这个形式系统里面的任一公式A，或者A是可证的，或者是┐A可证的。
正当希尔伯特满怀信心要一劳永逸地解决数学基础问题时，哥德尔不完全性定理的证明惊醒了形式主义学派的美梦。
3．哥德尔
哥德尔（1906－1978）在中国是值得大吹特吹的人物，国外一般认为哥德尔与爱因斯坦都是上世纪最有影响的科学家。特别是在数学界和人工智能界，甚至有很多教授认为哥德尔高于爱因斯坦。但在国内，哥德尔远不如爱因斯坦名声响。究其原因，除了哥德尔理论的艰涩外，可能还由于哥德尔本人性格的内向。
哥德尔（Godel）一般被认为是亚里士多德以来最伟大的逻辑学家（或许还加上一个弗雷格，他是现代逻辑的创始人）。他有几个主要的贡献：一阶逻辑的完备性定理，哥德尔第一、第二不完全性定理、连续统假设与ZF公理集合论的协调、旋转宇宙里时间旅行的可能、把莱布尼兹的上帝存在论证明转化为逻辑形式。在他的晚年，他对哲学产生了深厚的兴趣，尤其是康德、莱布尼兹和胡塞尔的哲学理论。（哥德尔晚年的转向，其背后包含有什么东西呢？）
在第一不完全性定理中，哥德尔证明了，任一包含算术的形式系统，它的一致性和完全性是不可兼得的。或者这样来说，如果一个包含算术的形式系统是一致的，那么这个系统必然是不完全的。所谓不完全，就是指存在一个公式A，使得A和┐A在这个系统内都不可证。
在哥德尔第一不完全定理中，哥德尔创造性地应用了很多理论，如递归函数，哥德尔编码，对角化，自引用等。在可计算的意义下，N上可表达性、递归函数、图灵可计算（也就是目前的计算机可计算）、lambda函数等计算模型都是等价的。正因为这些计算模型的等价性，哥德尔的工作经常被借鉴到其它计算模型上去。
4．自引用
哥德尔在第一不完全性定理的证明中，构造了一个公式G，使得这个G是真的但在这个系统内却是不可证的。这个G可以理解为以下的汉语描述：“这个数论
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