命题1说明对于风险态度中立的决策者来说,临界保费即是纯保费,但这只是一种理想的情况.命题2　设保险人的效用函数为抛物线型,u(x)=x-αx2,其中α>0,0<x<12α,并且假设理赔X的概率分布为F(x),则此时临界保费为

　　　　　　　　　　　　　　　G*=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).

　　证明　考虑保险人定价的效用方程为

　　　　　　　　U([W+G*-X])=u(W).

　　　　　　　∵U([(W+G*-X])=E[u(W+G*-X)]

　　　　　　　　　= 12α0[(W+G*-X)-α(W+G*-X)2]dF(x)

　　　　　　　　　　　=W+G*-E[X]-α{(W+G*)2-2(W+G*)×E[X]+E[x2]},

　　　　　　　　　　　　　u(W)=W-αW2,

　　　　　　　　联立两式得下列方程

　　　　　　　　　-α(G*)2+(1-2αW+2αE[X])G*+(2αW -1)E[X]-αE[X2]=0.

　　　　　　　　解关于G*的一元二次方程得

　　　　　　　　　　G*=2αw-1-2αE[X]+(1-2αW)2-4α2σ2(X)-2α

　　　　　　　　　　　=E[X]+(12α-W)-(12α-W)2-σ2(X).

　　　　　　　　特别地,当W=0时,

　　　　　　　　　　G*=E[X]+12α-(12α)2-σ2(X)

　　　　　　　　　　　　≈E[X]+ασ2(X),

　　此时σ2(X) 12α.这正是非寿险保费定价中的“方差原理”,因为在金融分析中常用方差(或标准差)来度量风险的大小,方差越大,不确定的程度越大.保险人把它作为一条加费的理由,因而在纯保费E[X]的基础上又多了一项“安全附加费用”.

　　命题3　设保险人的效有函数为指数型,u(x)=-e-αx,α>0,假设理赔X的概率分布为F(x),则此时临界保费为G*=1αlnMX(α),其中MX(α)为理赔随机变量X的矩母函数.证明　考虑保险人定价的效用方程为

　　　　　　　　　　　　　　U([W+G*-X])=u(W).

　　　　　　　　　　　　　　∵U([W+G*-X])=E(u[W+G*-X])

　　　　　　　　　　　　　　　= +∞0-e-α(W+G-X*)dF(x)

　　　　　　　　　　　　　　　=-e-α(W+G*) +∞0eαxdF(x)

　　　　　　　　　　　　　　　=-e-α(W+G)*MX(α),

　　　　　　　　　　　　　　　u(W)=-eαW,

　　　　　　　　　　　联立两式得　G*=1αMX(α).

　　可以看出对于这类特殊的效用函数,临界保费与保险人所拥有的财富大小无关.

　　3　总结

　　效用理论一直是研究在风险和不确定条件下进行合理决策的理论基础,保险研究之中除保险定价以外,决定合理的准备金、自留额以及选择合理的财务方案都可以以此作为决策的原理.因此,它具有很强的理论指导作用.

　　从以上几个例子可以看出,实际保险定价中常用的“均值原理”和“方差原理”等只不过是期望效用的特殊形式,它们对应着一次、二次多项式等简单的效用函数.类似地,还可以讨论对数效用函数u(x)=lnx、分数幂效用函数u(x)=xr(0<r<1)等其他常见效用函数所对应的情况.

参考文献

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[2]茆诗松,王静龙,濮晓龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2000.

[3]卢仿先,曾庆五.寿险精算数学[M].天津:南开大学出版社,2001.

[4]胡炳志.保险数学[M].北京:中国金融出版社,1991.