ｘ≤ｆ（ｘ）≤（ｘ2＋1）／2

①

对一切实数ｘ都成立？若存在，求出ａ、ｂ、ｃ；若不存在，说明理由．
　　讲解：作者从解两个二次不等式

开始（解法1），经过数形结合的思考（解法2）等过程，最后“经学生相互讨论后得到巧解”（解法4）：由基本不等式

（ｘ2＋1）／2≥（ｘ＋1）／22≥ｘ

②

对一切实数ｘ都成立，猜想

ｆ（ｘ）＝（ｘ＋1）／22．

③

　　经检验，ｆ（ｘ）满足条件ｆ（－1）＝0，所以ｆ（ｘ）存在，ａ＝（1／4），ｂ＝（1／2），ｃ＝（1／4）．
　　我们不知道命题人的原始意图是否只考虑“存在性”，按惯例，“若存在，求出ａ、ｂ、ｃ”应该理解为“若存在，求出一切ａ、ｂ、ｃ”．从这一意义上来看上述巧解，那就存在一个明显的逻辑疑点：诚然，③式是满足①的一个解，但是在ｘ与（ｘ2＋1）／2之间的二次函数很多，如
　　ｆ1（ｘ）＝（1／2）ｘ＋（1／2）（ｘ2＋1）／2，
　　ｆ2（ｘ）＝（1／3）ｘ＋（2／3）（ｘ2＋1）／2，
　　ｆ3（ｘ）＝（1／4）ｘ＋（3／4）（ｘ2＋1）／2，
　　……
　　这当中有的经过点（－1，0），有的不经过点（－1，0），巧解已经验证了ｆ1（ｘ）经过点（－1，0）从而为所求，我们的疑问是：怎见得其余的无穷个二次函数就都不过点（－1，0）呢？
　　也就是说，“巧解”解决了“充分性”而未解决“必要性”，解决了“存在性”而未解决“惟一性”．究其原因，是未找出ｘ与（ｘ2＋1／2）之间的所有的二次函数．抓住这一尚未成功的环节继续思考，我们想到定比分点公式，①式可以改写为