性教学在高中数学中的运用
作者:佚名; 更新时间:2017-01-28

  新课改在转变学生学习方式上的一个重要举措就是强调教学探究。所谓教学探究就是指在教师的引导下,学生积极主动、相对独立地围绕某个数学问题,自主探究、学习的过程,这个过程包括:观察分析数学事实,提出有意义的数学问题,猜想、探求适当的数学结论或规律,并给出解释或证明等。我们在新课程的教学中应力求让学生对数学知识进行探究,以使学生获得理智和情感的体验、知识的建构及掌握解决问题的方法,切实转变学生的学习方式。本文结合教学实践,谈谈如何在数学教学中进行数学探究活动。

  一、重视定义、概念的探究教学,养成探究的习惯

  教材中的数学定义、概念是数学的精髓、灵魂,是对数学现象的高度抽象与概括,只有正确地理解定义、概念,而不是死记硬背,并对其形成的过程和本质进行探究,才将有助于掌握和运用。

  案例1:在映射概念的教学中,教师可通过提出以下问题实施探究(也可以通过引导学生去发现并提出问题):

  1)集合A中的每个元素在集合B中都有像吗?

  2)集合A中的不同元素在集合B中的像是否相同?

  3)集合B中的每个元素在集合A中都有原像吗?

  解决了上述问题,学生不仅把握了映射的本质(即多对一或一对一的对应),同时对函数概念的认识也上升到一定的高度。

  案例2:北师大版数学必修1教材中在讲述函数的奇偶性时给出了如下的定义:

  一般地,图像关于原点对称的函数叫奇函数,图像关于y轴对称的函数叫偶函数。教学中教师可以以奇偶函数的定义为切入点,引导学生展开以下问题的探究:

  1)奇函数f(x)为什么满足f(-x)=-f(x),偶函数f(x)为什么满足f(-x)=f(x)?

  2)奇函数、偶函数的定义域有何特征?

  3)f(0)=0与f(x)为奇函数有何关系?

  4)既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?存在多少个?试举例说明。

  5)奇函数、偶函数的单调性有何特征?等等。

  通过师生互动、学生探究不难解决上述问题,这样学生对于奇、偶函数就有了比较深刻的理解。

  数学教材中有诸多的定义、概念,这是学生进行数学探究的重要载体,即时进行数学探究,可以使学生养成良好的探究习惯。

  二、重视例题和习题的探究教学,促进数学思维迁移

  教材中的例题和习题对数学问题的解决起着示范和启迪的作用,因而例、习题的教学是数学教学的重要环节。纵观当前的课堂教学多是“教师讲、学生听”的模式,这制约了学生思维的发展及个性品质的培养,如果在例题和习题教学的一些主要环节上,创设情景,有的放矢地将例、习题设计成探究问题进行课堂教学,并对学生的做法进行归类分析,从单一的求解过程提升到类型问题的思考方法和步骤,则可有效地提高学生的思维水平,以及独立分析问题、解决问题的能力和灵活驾驭新问题的能力,更大限度地发挥例题和习题的问题探究效能。

  案例3:北师大版数学必修5的第一章第四节“数列在日常经济生活中的应用”中,涉及到“分期付款模型”问题。

  小华准备购买一台售价为5000元的电脑,采用分期付款的方式,并在一年内将款全部还清。商场提出的付款方式为:

  购买后2个月第一次付款,再过两个月第2次付款……购买后12个月第6次付款,每次付款金额相同,约定月利率为0.8%,每月利息按复利计算。求小华每期付的金额是多少?

  在师生共同分析并解决此题后,教师可引导学生做如下探究:

  1)本题可否通过构建数列模型来解决?事实上,只要设第n次还款后还欠款元,则=5000(1+0.8%)2-,(1+0.8%)2-x,由递推关系求出通项并由条件知=0即得,此解法从本质上体现了数列思想的运用。

  2)还有其他解法吗?如假设小华每期还款x元,则第一次还款x元,其实质不仅还了x元,而且将还x元再其后10个月的利息也还了,因此相当于还了x(1+0.8%)10元,于是得方程x(1+0.8%)10+x(1+0.8%)8+…+x(1+0.8%)+x=5000(1+0.8%)12,等等。

  3)按课本第35页给出的思考交流进行探究。

  4)在例3中,指出月利率按复利计算,如果要求月利率按单利计算,结果又如何呢?这是一个极具挑战性的问题,其问题主要表现在:每期还的x元是还本金呢?还是还利息呢?如果本金、利息一起还,那么x元中多少还本金?解决上述问题不仅有趣,而且能力要求较高,充分展示了数列在日常经济生活中的应用。

  案例4:北师大版数学必修5中第二章解三角形,第57页习题2-2,B组第2题:圆内接四边形ABCD的边长分别AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积。这是2001年安徽省文科的一道高考题,学生首先想到的是连AC或BD,利用余弦定理和面积公式得之,接着教师可引导学生继续探究:

  1)计算四边形面积常用的方法是什么?(割补法)。以上我们采用了割法,可否采用补法呢?(补成三角形,利用相似三角形的性质求解)。

  2)问题中给出的四个数据很特别,结合圆内接四边形的性质,你能简解吗?(在BC上取点E,使BE=2,则可证明三角形CDE是正三角形,从而C=60°,不仅简捷,而且明快!)。

  3)对此教师还可进一步提出问题:圆内接四边形的面积的表示式具有如此优美的形式,那么对任意四边形当己知四边长时可否求其面积?(不能)。需要增添什么条件?(对角之和或其他条件)。又如何计算其面积呢?此问题可作为课内探究的延伸,让有兴趣的学生在课外探究。

  例题和习题教学是学生学会思考、养成良好解题习惯的主要途径。实践表明,教师直接传授给学生的技巧,往往难以被灵活运用,而教师摒弃代庖,引导学生不满足于一得之见,设置航标,积极探究,是变被动接受为主动学习的重要举措。

  在探究活动中,学生的心智充分地参与,激发兴趣,开发智力,能有效地培养独立思考能力,提高数学思维品质。

  三、重视教材中“探究”素材的教学,培养学生探究能力

  新课程教材区别于大纲版的一大亮点就是增加一定数量的探究素材,开辟了诸如“思考交流”、“阅读材料”、“课题学习”、“信息技术应用”等拓展性栏目,并独立地设置了“探究活动”,为有兴趣、有特长、有能力的学生提供了探究的空间。教学中教师应有选择地利用这一亮点引导学生开展数学探究,使课内探究自然而然地延伸到课外,达到课内探究与课外探究有机结合的日的。如北师大版数学必修3第二章《算法初步》中第87页的“阅读材料”(物不知数)就是一个很好的探究课题,材料给学生明确提出了三个探究问题,通过探究,一方面丰富了知识、提高了能力,另一方面也使学生领略到我国古代数学家的聪明才智。又如本章第115页的“课题学习”,这是对本章第二节所涉及内容的补充与提高,同样指出了需要探宄的三个问题,并且通过引入了二进制明确了问题的答案,从而让学生感受到数学美之所在。教材中的探究素材是数学探究不可多得的资源,教师要给予充分地利用,不能以时间紧、内容多为理由而放弃对此的探究,这将让学生失去对诸多富有思想和人文价值的问题的探究机会,不仅偏离了新教材编写的初衷,也不符合新课程的理念,当然,这种探究应当切合学生实际,量力而行,不能花费学生太多的精力。

  四、结语

  “学习任何知识的最佳途径是自己去发现,因为这种发现理解最深,也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系”(波利亚语)。这正是数学探究的价值所在。在数学探究中,教师应成为探究课题的创造者,为指导学生进行数学探究做好充分准备,并积累指导学生进行数学探究的资源。在课堂教学中,堂堂搞探究是不可能的,事实上,一个学期能有几节就不错了,但经常地每节课有那么一小段探究还是必要的,且不可为探究而探究。需要指出的是,探究学习不存在固定的路径,也不宜一味地探寻和研究其程序和模式,关键在于对其精神实质的领悟,也许学生的探究成果有时显得简单或幼稚,甚至有错,这并无大碍,重要的是学生能从现有的知识水平出发,通过不断探索,去体验数学探究过程中执着、不畏艰难、富有理智的创造性思考,培养一种科学探究、实事求是的精神,这正是数学探究所具有的独特的育人功能和魅力之所在。

  参考文献:

  [1]教育部.普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

  [2]蔡旺庆.探究式教学的理论、实践与案例[M].南京:南京大学出版社,2015.

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