2．1．基本概念：知Tow不可能性定理用数理逻辑求解个人利益与整体利益的关系，它不仅是是社会选择理论的一个重要理论，而且成为哲学社会科学中的一个根本性定理。在本节中，我们将介绍基本的社会福利函数的基本概念及定义，从而为我们在以后的章节中更好地讨论、证明A玳1w不可能性定理做个铺垫。为了讨论方便我们先介绍一些约定的记法及一些基本概念：令X为备选方案集，x，y，z∈X表不同的备选方案。R，P，I为备选方案集X上的二元关系。XI坶：x不劣于y；)【Py：x优于y；坶：x无差异于y。如果对于所有的x∈X：xI汉，那么R是自反的：如果对于所有的x，y∈X，x≠y：xRy或yRx那么R是完备的；如果对于所有的x，y，z∈X：()dRy／＼yRz)_)此，那么R是传递的；对于所有的x，y∈X：xPyH()姆八一yRX)，即P是非对称的，表示严格偏好关系；对于所有的x，y∈X：xIyH【Xl哼八y融】，即I是对称的，表示无差异关系：如果R是完备的，自反的，传递的，那么我们就称R是备选方案集x上的一个偏好序。用T(R)表示偏好序的集合。令N=(1，…，n)表示一个有限主体的集合，且IN|>2，i，j∈N表不同的两个个体，n元组(Rl，…，k)表示偏好的组合，其中Ri是个体i的偏好关系。
      2．2．社会福利函数和Ar嗍不可能性定理社会福利函数F将每一由n个主体偏好构成的偏好组合映射到一个偏好关系R上，该偏好关系代表聚合后的群体偏好关系：社会福利函数F：F(R1，…，如)=R∈T(R)显然F社会福利函数的定义域(D伽ain)是由所有可能的主体偏好关系的组合(Rl，…，＆)构成的集合，每一主体i对于所有选项都有一个完备的且传递的严格偏好关系＆，而对选项在主体的偏好关系中表现为什么样的传递顺序没有任何限制。F的值域(Range)是T(R)，它只要求候选项按传递的顺序排列，也就是要求经社会福利函数聚合生成的群体偏好关系R具有传递性。西南大学硕士学位论文 第二章A丌ow不可能性定理A玎0w不可能定理同时还要求社会福利函数必须满足如下条件【6】：
      1．无限制定义域：F的定义域包括了备选方案集X上所有逻辑上可能的所有偏好主体序列的n元组。
      2．帕累托最优原则UN(1lIl锄im埘)：对于备选方案集X里的任意两个备选项x和y，如果群里的每个主体都认为x严格优于y，那么x优于y。可用公式表示为：V(R1…．，Rn)E’“x)nva∈xyb∈x(vieN aRib=争aF(R1．．．．．Rn)bt
      3．无关选项独立性ⅡA(independeIlceofin．clevantaltematives)：两个选项的排序仅仅依赖选举者如何对它们进行偏好排序，和其他选项的信息无关。可用公式表示为：v(Rl…．，Rn)eTOO“v(Rl’…．．Ib。)ET(x)ⅡvaExvb毫x(vi∈N(aI№营alUtb)j(aF(R1…．。Rn)b营aF(R1’．…．Rn’)b))。
      4．非独裁性ND(non．mctatorial)：在F定义域内的所有偏好组合里，对于备选方案集X上的备选项a和b所有偏好对，群里没有一主体使得如果aPib，那么aPb。可用公式表示为：，暑ieNv(Rl…．，鼬)ET《x)nF(R1，…，Rn)=砌无限制定义域要求主体的偏好序不应当被先验的被排除，甚至最奇怪的序列也要被考虑进去。帕累托最优原则UN(un加irnjty)规定如果群体内的主体一致都认为备选项x严格优于另一备选项y，那么由社会福利函数聚合得到的群体偏好同样认为x优于y。比起其他条件，无关选项独立性I队(ind印endenceof i玎elevantaltematives)或许有些难以理解，任意两个选项的排序仅仅依赖于选举者对它的偏好，具体的说，如果要考虑基于备选项(x，y)的偏好对，那么仅仅要考虑选举者对于这对备选项的主体偏好而不需要考虑其他备选项。最后，如果有一个主体的偏好就是群体体偏好，那么这个主体在偏好聚合程序里就是独裁者。而社会福利函数要满足的条件要求非独裁性。在A玎ow看来，他的社会福利函数四个条件(或者说五个，如果把作为一个序列的社会偏好关系被看做是一个单独的要求，即理性要求。)在主权和理性意义上来说是很有必要的。这几个条件看来是很合理的，但是mTow证明了满足这几个条件的社会福利函数不存在。西南大学硕士学位论文 第二章A丌0w不可能性定理Arrow不可能性定理：对于一个有限主体集和至少三个不同的社会备选方案，不存在一个同时满足条件UN，ⅡA，和ND的社会福利函数。上述定理就是著名的‘‘A盯('w不可能性定理”。它不仅是现代社会选择理论的最基本结论，更是姗社会福利函数框架的核心定理。西南大学硕士学位论文

      第三章Arrow不可能性定理的直观证明

     本章将从直观意义上对mT0w不可能性定理进行分析。通过对A盯ow不可能定理的直观证明使定理内部结构的逻辑蕴涵更为清晰，展示了最具有普遍概括性的理论。第一种证明是决策的蔓延从一个单一的严格偏好序对的个体集到所有其他的个体集，证明简单而又印象深刻。第二种证明揭示了定理无关选项独立性条件是如何受到限制的。定理的各种合理指标性质在相互作用下，某一个性质在某种程度上就会表现出很大的不可满足性。
      3．1．第一种证明这种直观的证明将展示一种清晰的证明方式，即，群备选方案一些序对上的决策蔓延到一个有穷备选方案集合的所有序对上的决策【3】。这种现象有时被称为蔓延特性。下面从对证明结果很有帮助的两个定义开始。定义
      3．1．1 对某备选方案x、y，如果主体集V(V∈N)中的每一i都有)【Piy而V外每一主体i都有yPiX，聚合得到的群体偏好为xPy，则称主体集V是有准决策权的(almostdecisive)。定义
      3．1．2对某备选方案x、y，如果主体集V(V∈N)中的每一i都有xPiy，聚合得到的群体偏好为)【Py，则称主体集V是有决策权的(deci8ive)。现在我们关注在特定个体J上，对于备选方案为x和y，用D(x，y)表示主体J是有准决策权的(almost decisive)，用D枣(x，y)表示主体J是有决策权(decisive)的。很明显D幸(X，y)蕴含D(x，y)，因此前者强于后者。证明的重点就在于传染理论。定理
      3．1．3对于有备选方案集(x，y)的序对，如果存在主体集J是有准决策权的(almostdecisive)，一个满足条件UN，ⅡA，和ND的Arrow的社会福利函数F蕴含主体J必定是独裁性的。证明，假定对备选方案序对x、y，主体集J是有准决策权的(almostdecisive)，即：存在x，y∈X，D(x，y)。令有第三备选方案z，i是群体中所有其他主体。根据无限制定义域条件，我们是完全自由地选择任意一个逻辑上可能的偏好组合。假定下面的偏好成立：)【PJy，yPJz和yPjx，yPiz。要注意的不是J的其他所有的主体对x和z之间偏好关系是不明确的。由于D(X，y)，得到xPy。同时，由于有yPJz且任一非J的主体i有yPiz，根据弱Paret0准则得到yPz。然后根据传递性从xPy和yPz，得到)【Pz。我们根据无限制定义域条件开始，然后下一步把帕累托最优原则UN条件运西南大学硕士学位论文第三章—6㈣w不可能性定理的直观证明用到社会偏好关系的序列问题上。那么无关选项独立性条件呢?我们得到xPz没有任何关于除了主体J之外的其他所有的主体对x和z之间偏好关系的信息。当然我们假定yPix和yPiz，但是根据无关选项独立性I队条件，这些偏好在备选项x和z之间的群体决策里没有起任何作用，因此，)【Pz一定仅仅是】【PJz的后承，不管其他的序列(主体偏好假定为传递的)。这意味着对于备选项x和z，我们证明的第一步主体J是有决策权的(decisive)。我们得到：D(X，y)_D木(x，z)。第二步，再假定D(x，y)，群体中所有主体的偏好为：峦Ⅸ，心搿和圩jx，yPix。注意到这次主体i在备选项z和y之间的偏好是不明确的。当然，我们从D(x，y)得到xPy并且从帕累托最优原则UN条件得到zPx。根据传递性产生zPy。类似于-先前情形的一个论断，运用无关选项独立性条件，证明zPy一定仅仅是zPJy的后承。因此得到D(x，y)_D木(z，y)。为了证明传染现象，我们继续顺着开始的两个步骤的线索。我们通过用备选方案的排列来证明。例如，因为我们已经证明了D木(x，z)，因此D(x，z)，我们在[D(x，y)一D木(z，y)】中互相交换y和z，并且证明D(x，z)蕴含D嗥(y，z)。在我们的定理证明中其他互相交换提供更多的步骤。在第一步和第二步中给出的是语言的证明，下面以一种较图表的方式，重复第一和第二的步骤，来证明定理。在下面的图表中，x_÷y代表x优于y，卜y代表y优于x。1．J：x_y_zi：x+-y—zXPy，yPz_)【PzD(x，y)_D辜(X，z)一D(X，z)2．J：z—x—yzPx，xPy—zPyi：z_x卜yD(x，y)一D木(z，y)_D(z，y)3．J：y_x_zyPx，)【Pz—yPzi：y_x卜zD(x，z)_D·(y，z)-÷D(y，z)西南大学硕士学位论文 第三章A丌ow不可能性定理的直观证明4．J：y—z—xyPz，zPx_÷yPxi：y卜z—xD(y，z)_D幸(y，x)_D(y，x)5．J：z_÷y—xzPy，yPx_才xi：z_y+．xD0，x)一D宰(z，x)_D(z，x)6．J：x_z—yxPz，zP)，一)【Pyi：x卜z_yD(x，z)_D奉(X，y)_D(x，y)图表从D(x，y)开始的，对于三元备选方案(x，y，z)的每一个序对和给定条件UN，ⅡA，和ND，主体J是有决策权的(decisive)(继而有准决策权的a11nostdecisive)。因此主体J是对于任意包含x和y的三个备选项的一个独裁者。这种传染特性能扩展到超过三个备选项的例子中吗?回答是肯定的。不用提供太多的证明就很容易看到这是很具有推理性的过程。下面看一下四个元素的情形，x，y，u和v，u和v是完全不同于x和y的。我们从三元(x，y，u)开始，根据上面的结论，和无限制定义域条件，我们可以得到D木((X，u)和D(x，u)。再取三元(X，u，v)，因为有D(x，u)，接着就可以得到D木(u，v)和D木(v，u)。所以，对于一些x和y的D(x，y)蕴含对于所有可能的序对(u，v)的D木(u，v)。因此，对于任意一个有穷的备选方案集这种传染理论都成立，定理得证。被证明了的定理的逻辑后承是：我们在备选方案集的一些序对上不允许一个主体是有准决策权的(almost decisive)，因为这将和非独裁性条件相抵触。我们因此假设不存在主体准决策(almost decisive)集。那么将产生矛盾：我们证明的结构是给定的根据条件UN，ⅡA，和ND，和函数上序对的性质。根据帕累托最优原则UN，对于所有主体集上任意序对(x，y)至少存在一个有决策权(decisive)集，所以，至少存在一个有准决策权(almost decisive)集。在所有主体集对于备选方案的一些序对是有准决策权(almost decisive)集之间，选择最小的一个(不必是独特的)。根据定理的结论，它必定包含至少两个个体，因为一个有准决策权(almost decisive)主体的情形下将产生独裁，证明完成。我们令这个备选集为V且V集为(x，y)的有准决策权(almost decisive)。我们把V集分为两部分：Vl仅包含一个单独主体，V2包含所有其他主体。令V3是V集之外的主体。根据条件U，我们假定有下面的偏好组合：10西南大学硕士学位论文 第三章Arrow不可能性定理的直观证明对于V1中的i： )【Piy和yPiz对于V2中的所有j： zPjx和xPiy对于V3中的所有k： yPkz和zPkx。因为V是(x，y)的有准决策权的(almost decisive)，所以可以得到xPy。那么zPy能成立吗?如果这种情况成立，那么根据无关选项独立性ⅡA条件V2将会是(z，y)的有准决策权的(ahnostdecisive)，由于zPjy并且V1和V3中所有的其他主体都有y优于z。然而，根据我们的假定，V是最小的有准决策权的(almostdecisive)集，而且V2是一个严格的V的子集。因此，zPy是不可能的，所以yPz。现在根据群关系的传递性得到XPz。那么仅有一个个体的Vl将会是有准决策的(ahnostdecisive)，这将会和我们最初的假设相矛盾。根据定理，不可能性定理得证。要注意的两点是，上面使用的偏好排列组合形式被称为投票悖论。再有就是V3里主体的偏好在我们的证明是不需要的。