4．2．公理系统为了从逻辑上证明J咖w不可能性定理我们需要构造一个逻辑系统，本小节要首先构造一个形式系统，使得它能够为加Tow社会福利函数建构模型。在塑造社会选择理论出现过这类难题，对—协ow不可能性定理进行一阶逻辑公理系统形式化时，有些二阶逻辑的迹象，而我们不需要任何形式的二阶量化，本文的公理西南大学硕士学位论文 第四章A丌ow不可能性定理的一阶逻辑形式证明系统参考了TangandLin(2009)、G捌【ldi趾dEndriss．First-Order LogicFo姗alisationof加Tow’sTheorcln等一些相关文献。塑造加T0w不可能性定理的社会社会福利函数模型框架的形式系统要引入一个情景集(thesctofsituation)，用它来标注不同的偏好组合，用一元谓词S来表示，然后通过量化相关集合，就得到一个一阶公理系统【5】。’用里u表示与情景u相关的偏好组合序，一阶符号L=(a1，a2，a3，il，sl，X‘”，N‘1J，S‘p，p‘掣，f‘3’)定义如下：(1)al’a2，a3是常元，表示三个不同的各选方案，il一个主体，sl一个情景；(2)X、N和S是三个一元关系，分别表示：备选方案集、主体集和情景集(S)；(3)P是一个四元关系，若z是一个主体u是一个情景，￡zu表示主体z在情景u下的偏好序：(4)f代表社会福利函数，是一个三元关表，对每一情景u，贮)表示与u相关的群体偏好关系。运用语言L引入第一个公理L聊，它是关于线性序p(1诅e盯ord盯)的公理：(1)N(z)入S(u)八x(X)入X(y)_(p(z，x，y，u)Vp(z，y，x，u)Vx动(2)N(z)八S(u)／＼X(X)一-p(z，x，x，u)(3)N(z)八S(u)八X(X1)八X(x2)八X(x3)八p(z，xl，x2，u)八p(z，x2，x3，u)—巾(z，xl，x3，u)在这部分的所有公理都可认为是普遍封闭的。因为第一个公理应读作：“对所有的z，u，x和y，如果z是一个主体，u是一个状态， x和y是备选方案集，那么主体z在状态u下认为或者x优于y，或者y优于x，或者x等于y'’，这是一个完备(连通)公理，第二和第三分别是非自反和传递性公理。第二个公理是关于社会福利函数f(·，·，u)的公理L】啉f．(1)S(u)八X(X)八X(y)—÷f(x，y，u)Vf(y，x，u))Vx=y(2)S(u)八X(x卜1f(x，x，u)(3)S(u)八X(x)八X(”八AXc)八f(x，y，u)八地t，u)一坟x，t，u)下面两个公理集保证至少有3个不同的备选方案，il是一个主体，sl是一状态，并且X，N和S形成了一个模型论域的一个划分：M町N：X(a1)／＼X(a2)八X(a3)八N(il)八S(s1)-1(al=a2)八一(a1=a3)八一(a2=a3)西南大学硕士学位论文 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明nU盯： X(x)一(—'N(x)八一S(x))N(x)—◆(—'X(x)／＼一S(X))S(X)—÷(—’N(x)八—X(X))x伍)VN(x)VS(X)。下面两个各两个公理刻画了变元p和f的类型：DEF：p(z，x，y’u)_(N(z)八X(X)八X(y)八S(u))f．(x，y，u)—·(X(x)入X(y)入S(u))下面两个公理保证两个不同的情景不能编码同一个偏好，因此状态对偏好的编码必须是单射。INJ：S(u)八S(v)／＼(u≠v)_|z．j x．jy．[N(z)八X(x)八X(y)八p(z，x，y，u)八p(z，y，x，V)】为了表达普遍论域的条件，在我们的语言中，为了能够量化整个状态集，要引用另一概念：同一T(X)为与对称偏好组S(X)各选方案X上的所有排列，并且通过换位而生成。PE瑚公理如下：(1)p(z，x，y，u)一jv．{S(v)八p(z，y，x，v)八(2)Vxl．[p(z，x，xl，u)八p(z，xl，y，u)—巾(z，xl，x，v)八p(z，y，xl，V)】八(3)Vxl．【(p(z，xl，x，u)_p(z，xl，y，V))八(p(z，y，x1，u)_p(z，x，xl，V))】八(4)Vxl．Vyl．【(xl≠x)八(xl≠y)八(yl≠)，)八(y1缸)_@(z，xl，yl，u)Hp(z，xI，y1，V))】八(5)Vzl．Vxl．Vyl．[(zl≠z)_O(zl，x1，yl，u)Hp(zl，xl，yl，V))】)这个公理的复杂性很大原因在于线序表现的是一种二元关系。给定Pi不是X中元素的一个序而是X2的一个子集，所以在给定的一个状态一个主体z和两个备选方案x和v，必须要存在另一个状态使得：(1)x和y的关系位置在Pvz中是转换了的：
      (2)如果在Puz中xl是在x和y中间的一个备选方案，那么它的位置相对于x和y在P，z是转换的；
      (3)如果在P。z中xl优于x，那么在Pvz中它优于y(x一样)；如果在P。z中xl不优于y，那么在Pvz中它不优于x(y一样)；
      (4)对于不同于x和y的每对备选方案的关系位置是复制的；
      (5)对于每一个体z’≠z都有Pvz’_Puz’。把包含以上所有公理的理论称为T1岍，它概述了社会福利函数的性质。加上19西南大学硕士学位论文 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明下面的三个公理，我们就得到了‰w理论：UN：S(u)八X(x)八X(y)一[Vz．(N(z)-÷p(z，x，y，u))叶f(x，y，u)】ⅡA：S(u1)／＼S(u2)八X(x)／＼X(y)_[Vz．(N(兰)_0(z，x，y，u1)Hp(z，x，y，u2))卜(f(x，y，u1)Hf(X，y，u2))】ND：n(z)一jx．j y．ju．【S(u)八X(x)八X(功八p(z，x，y，u)八f¨y，x，u)]A衄)w不可能性定理可表达为：定理4．2．1：TARROW没有有穷模型。(这个定理是命题
      4．3．3的一个直接结果，一旦我们证明了Ts岍的每一个模型都对应着一个社会选择函数，这将充分地验证m∞w不可能性定理三个性质公理进而去证明定理
      4．2．1．等值于加T0w不可能性定理。)
      4．3．在无穷域内讨论知?嗍不可能性定理在上部分我们将社会福利函数的理论形式化得到TTwF。下面我们通过证明公理化了这类(满足封闭一定域条件下的偏好集社会福利函数)TTwF来证明这类函数。根据平TwF的每一个模型Mf有着一个社会福利函数f去证明一个完备性理论。这样我们就能确定某种限定范围上的—6mw不可能定理能被自动证明。尤其重要的是在无穷论域里证明姗不可能性定理不成立的问题。两种方法攻克这一难题，第一，限定主体的数量。第二，基于飚玎n锄and Sondennann(1972)【13】的一个理论。现在假定有一个非空的且至少包含3个元素的备选项集和一个非空主体集。h岍的一个模型是形如M=(M，al，a2，a3，il，sl，X，N，S，p，f)的一个结构。定义4．3．1：如果f是一个关于备选方案集X和主体集N的社会福利函数S岍，那么Mf是如下的L模型：·
      (1)全域M=XUN ULX；是对应于三个一元关系X，N和S(特别是集合S等值于所有的偏好组合T(X)N时)的不相交并；(2)al，a2，a3是三个不同的备选方案，i1是主体，sl是一个偏好组合；(3)(z，x，y，u)∈p营x Pzuy，其中Pz”是关于主体z在偏好组合状态u上的偏好关系；(4)(x，y，u)∈w§x f(&)y。如果X是有穷的，那么模型Mf在某种意义上是唯一的，依赖于对常项的选择。而当X是无穷的时候，它就不能从f建立起来一个唯一的模型。为了得到一个完全的刻画，我们需要如下的定义：西南大学硕士学位论文 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明定义
      4．3．2．给定～个集合x，令S(x)表示x上所有排列集合。一个换置就是将集合中仅两个元素进行交换的一个排列。G互S(X)在换置下封闭，当且仅当如果g∈G，那么对任意一个换置t都有g。t∈G。由定义可知，如果X是有穷的，那么封闭在换置状态下S(X)的唯一子集是S(X)本身。‘令f是备选方案X的一个无穷集合上的一社会福利函数SwT。我们已经明确同一T(X)集为备选方案X上S(X)的所有排列。用定义    3．1构造模型，对于每一个个体i∈N，封闭在置换状态下的GicS(X)的每一个选择都有一个T僻的模型，除了状态集是笛卡尔积S=皿∈NGi。这种定义在有穷情形下停止在定义3．1，因为对于每个个体，T(X)是唯一可能的选择。下面的完备结论证明了这些是秆盯的所有可能模型：命题4．3．3．M l_Ts肝当且仅当如果存在着两个非空集x和N，且lXI≥3，有一个备选方案集X和主体集N的社会福利函数S骄w使得M=Mw。证明：很容易证明Mf是Ts耵的一个模型。重要一点是状态集S或是所有偏好组合集合或是封闭在换置状态下S(X)的子集笛卡尔积S=：JIi。NGi。这也充分地证明了PEI蝴公理。现在假定MI_fs岍。定义备选方案X和主体集N两个集合为代表一元关系的整个论域的子集，对于状态集S中的每一个元素我们都有一个偏好组合，一个偏好关系pM里的排序。从偏好关系函数fM我们能定义一个偏序社会福利函数(aPaniaISWF)，它的论域是在状态集S里编码的所有偏好组合的集。根据PERM公理，如果我们在每个主体i上取G的映射函数，用Gi表示，我们就得到一个封闭在换置状态下的线序集合。因此G就是形如JIi。NGi的集合，那么M=Mf。一个类似定义     4．2．1的结论尽管有它的理论价值但没有实用价值，最终目标是在社会选择理论里使用自动推理，寻求能被我们的理论形式推演的，一个语句表达的，形式化加row不可能性定理。证明TARRow的不协调的最初尝试失败，是因为An．0w不可能性定理在一个无穷主体量的情形下不能成立(Fishb啪1970)【ll】。一个无穷备选方案量的问题被引理(LellⅡna)     4．1．2替代解决。用我们的结构解释Fishb啪的理论【13】：存在Ts岍一个的无穷模型M使得MI_唧N八ⅡA／＼ND)。由于没有刻画有穷模型的一阶公式(seee营Shocn6eld，1967)【14】，我们必须设法避免这个问题。．一种可能就是放弃一般性，在语言中固定主体的量【15】。因此令新的语言Ln为Lu{i2，…，in)(矿1个新的常数)，丰sⅥ的所有公理加上下三个公理称为弧wFn理论：西南大学硕士学位论文 第四章Arrow不可能性定理的一阶逻辑形式证明(1)· ik≠ij对于每一个k≠j(2)· N(i2)八…八N(in)(3)· N(z)—哼(z=il)V…V(z=in)用一个类似命题
      4．3．3的证明我们就得到一个理论丰swFII(基于定义在n个主体i集上的S岍s)。下面有助于自动推理的命题成立：命题
      4．3．4．如果f是一个X和N且IXI≥3，INI=n的S岍，那么MwI=一删八ⅡA／＼ND)，因此，对每一个n都在Ts科中有一仲(UN八ⅡA八ND)的证明。证明相近于引理(Lemma)4．1．2，那个证明在一般情形里没有使用普遍论域的条件：每次定义一个新的组合，一直是在用备选方案序对中转换的一个有穷序列构造。因此封闭在置换状态的条件保证结论扩展到定义在一个有穷N集的每一个模型Mf上。第二种间接方法：推演出一个TARRow的后承，由其导致模型是无穷的。