小学数学基本数学思想的学习与思考
3、数学形结合:数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学,数和形之间是既对立又统一的关系,在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等,这里的形是指几何图形和函数图象。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。
4、变中不变的思想:变与不变,是具有辩证关系的范畴。当指事物及其相关联的因素,在不断地变化着,但这些变化的趋势和因素中,又同时存在不变的状况,或者现象变,本质不变;局部变,整体不变;暂时变,最终不变,等等。有些思考和思想对象,往往是千变万化,令人眼花缭乱的,但如果抓住其本质,就可以不变应万变,以静制动,最终有效解决问题。显然,变中抓不变的思想方法,有利于解决错综复杂的问题,能透过现象看本质,根据局部把握全局等等。这是一个很有哲学意义的方法。
5、符号表示的思想:“符号”,一般说来就是某种事物的.代号,它的意义是采用对应的方式,把一个复杂的事物用简便的形式表现出来。数学符号是进行空间形式和数量关系表示、计算、推理的工具,是人们对于客观事物运动规律的最直观、最简明的表达方式,是交流与传播数学思想的媒介。
所谓符号化思想就是用一种符号代替原物,不用原物而用符号进行表示、交流、运算等活动的思想。数学符号是数学的语言,数学世界是一个符号化的世界,数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具,符号起到了非常重要的作用;因为数学有了符号,才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点,同时也促进了数学的普及和发展;国际通用的数学符号的使用,使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法,具有普遍的意义。
6、对称的思想:对称关系广泛存在于数学问题中,对称美是数学美的一个方面。充分利用对称原理,可使我们在解决问题时多一条有效通道,且往往能更简便地使问题得到解决。我们将从对称性应用常见的四个方面入手进行学习:1、利用关系式中字母的对称;2、利用图形的对称;3、利用其他数学情形的对称;4、利用隐含条件揭示或构造对称。
对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果A、B是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方 面), 那么把A、B交换顺序,其结果不变,这就是对称原理.在数学问题中,经常出现在某种意义下对称的形或式,如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线;代数中的一些不等式、方程;函数f(x)与其反函数f-1(x)及它们的图象等等。充分利用好对称原理,可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道, 而且常能起到化繁为简,出奇制胜的效果。
7、对应的思想:对应,比喻在一个系统中的某一项在性质、作用或数量上等情况中,同另一系统中的某一项相当。对应思想,是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,就是利用数量间的对应关系来思考数学问题。集合、函数、坐标等问题都以这一思想为基础。寻找数量之间的对应关系,也是解答应用题的一种重要的思维方式。对应思想主要分类有:数形对应、量率对应、量与量的对应、函数对应。
8、有限与无限的思想:有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解,将有限的问题化为无限来解决,利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题。
9、归纳的思想:归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析,进而导出一个一般性结论的推理方法。归纳法是一种从特殊到一般的推理方法。归纳法的本质特征是从已知到未知,从特殊性到一般,从个性到共性,从经验事实到事物内在规律的飞跃的过程。
10、演绎的思想:所谓演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程。
11、公理化思想:简单地说,公理就是大家公认的、不证自明的道理,它是人们研究问题和交流观点的共同基础。所谓公理化,就是指在建构一门学科理论体系时,从尽可能少的原始概念(不加定义的概念)和一组公理出发,遵循逻辑规则,定义其他概念,演绎和推理其他命题,从而把门理论建成演绎系统的方法。
在一个数学理论体系中,我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理,以此为出发点,利用纯逻辑推理的规则,把该理论体系建立成一个演绎系统,这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想。
12、转换化归的思想:人们在面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时,往往将需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问题,最终使原问题得到解决,把这种思想方法称为化归(转化)思想。
从小学到中学,数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程;然而,人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中,却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识,从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此,化归既是一般化的数学思想方法,具有普遍的意义;同时,化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一,具有重要的意义和作用。
13、联想类比的思想:联想是在学习的过程中由此及彼地沟通新旧知识的内在联系拓宽研究问题的思路。类比是通过比较来发现新旧知识的异同点,从而有效地实现知识迁移、因而联想、类比好似一对孪生兄弟,往往同时作用于某一数学对象,是一种很重要的数学思想方法。
14、逐步逼近的思想:根据问题的条件确定解决问题的大致范围,然后通过不断改进方法或者排除不可能的情形,逐步缩小问题的解的存在范围,从而最终获得问题的结果。这种思想称之为逐步逼近思想。
15、代换的思想:等量代换的定义:用一种量(或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量(或另一种量的一部分)。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础,狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么 a=c。真正使用到的等量代换为:8704;f(a=b∧f(a)→f(b)),其中f是合式公式广义的等量代换举例来说就是:“如果李四是张三的同义词,张三是人,那么李四是人”。这个数学思想方法不仅有着广泛的应用,而且是今后进一步学习数学的基础,是一个非常重要的知识点,甚至到了大学都会使用。
